FMラジオ番組の問題をきっかけに，面白いなと思いつつ，証明方法が気になってしかたない計算がある．
3 × 4 = 12
33 × 34 = 1122
333 × 334 = 111222
3333 × 3334 = 11112222
この計算を文字式で証明できないか？と数日考えているけど，うまい方法が思いつかない．
ネットで調べたら「ピーターフランクルの超数脳トレーニング」という本に書いてあるらしいが，私が納得する文字式の証明はなさそうだ．ネットで調べた説明を私なりに書くと以下のようになる．
4 × 3 = (3 + 1) × 3 = 9 + 3 = 12
34 × 3 = (33 + 1) × 3 = 99 + 3 = 102
334 × 3 = (333 + 1) × 3 = 999 + 3 = 1002
3334 × 3 = (3333 + 1) × 3 = 9999 + 3 = 10002
a × b = ( a / 3 ) × b × 3 のように変形できるので，
3 × 4 = 1 × (4 × 3) = 1 ×12
33 × 34 = 11 × (34 × 3) = 11 × 102
333 × 334 = 111 × (334 × 3) = 111 × 1002
3333 × 3334 = 1111 × (334 × 3) = 1111 × 10002
のようになる．ここで，上で準備した式を利用している．かけ算の筆算を思い出すと11や111を掛けるのは桁をズラして足すだけなので，あとは簡単に計算できる．
n桁になっても，一般的に式を書けると思うんだけど，書き方も証明もわからない．
数学的帰納法？とか考えてみたけど，まだ証明できない．
FM Fukuoka 「モーニングジャム 問題です!! 」の2019年1月3日．
https://fmfukuoka.co.jp/jam/mondai.php
(1/6 8:51追記)
Σ( ) は 括弧の中の文字mについて0からnまでの和を取るものとする(数学のシグマ記号のこと)．
上の式は，
{Σ(3 × 10^m) + 1} × 3 = Σ(9 × 10^m +3) = 10^(n+1) + 2
となる．下の式は，
Σ(10^m) × ｛Σ(3 × 10^m) + 1}× 3
= Σ(10^m) ×｛10^(n+1) + 2｝
= Σ(10^(m+n+1) + 2 × 10^m)
となる．
まとめると，
Σ(3 × 10^m) × {Σ(3 × 10^m) + 1} = Σ(10^(m+n+1) + 2 × 10^m)
である．ここで，Σ( )は0からnまで()の中の和を取る記号である．
右辺は，1の位から10^nの位まで2が(n+1)個続き，10^(n+1)の位から10^(2n+1)の位まで1が(n+1)個続くことを示す．